Linear Algebra
-
선형대수학 49강: 대각화가능 행렬과 그 성질 [쑤튜브]Linear Algebra 2022. 10. 31. 12:36
1. 행렬 A(nxn)가 대각화가능한지 안한지 어떻게 알 수 있을까? 서로 선형독립인 n개의 eigen vector가 존재하면 대각화 가능할까? 서로 선형독립인 n개의 eigenvector가 존재하면 그에 대응하는 eigenvalue가 n개 존재하여 대각행렬인 D를 만들 수 있다. 그럼 행렬 D는 basis를 변환시켜주는 행렬 B를 앞뒤로 곱할 때 A와 같아진다는 사실을 지난 시간에 배웠다. 이를 바꿔 쓰면, 행렬 A에 B 역행렬과 B를 좌우에 곱하면 행렬 D가 된다는 의미이다. 이때 행렬 B는 가역행렬인가? 고유벡터들을 나열한 행렬이 B인데, 이때 고유벡터들은 서로 선형적으로 독립이고, 모든 열벡터가 선형독립이면 가역행렬이므로 B는 가역행렬이다. 따라서 가역행렬 P(B)가 존재한다. 2. 과연 모든 대..
-
48강: 기저 변환과 대각화 [쑤튜브]Linear Algebra 2022. 8. 14. 11:43
특수한 Basis인 Standard Unit Vector로 이루어진 Standard Basis가 아닌 일반적인 Basis에서 다른 Basis로 기저 변환은? 고유값과 고유벡터를 제대로 활용해보자 선형사상의 종류 : 회전변환, 대칭변환, 확대변환 축을 기준으로 상수배하는 변환은 "대각행렬"일 수밖에 없다. A의 경우, v1 축으로는 lamda1배하고 v2 축으로는 lamda2배하는 변환 따라서 새로운 basis B를 기준으로 보면 A는 대각행렬이 됨 이때 이 대각행렬을 사용하려면 basis B를 기준으로 한 정의역을 사용해야함 따라서 기존 R^2의 standard basis를 기준으로 한 정의역을 기저변환을 통해 basis B 축에서 표시해야 한다. 예를 들어서 (1,1)B가 있다고 가정해보자 v1과 v2..
-
46강: 기저(basis)와 차원(dimension) (2)Linear Algebra 2022. 8. 14. 09:25
(c1, ..., cn) 계수값이 바로 좌표인데, 이 계수값이 하나의 벡터 a에 대해 여러 개가 존재하면 서로 다른 좌표가 같은 값을 나타내게 되는 것으로 모순이 발생. 따라서 반드시 성립해야 한다. 동 정리가 성립해야 이 기저집합을 좌표로 쓸 수 있다. (기저의 존재성) V는 벡터 공간이므로 스칼라 곱에 대해 닫혀 있어야 한다. 따라서 sv1 ∈ V. 근데 sv1는 ∈ span(v)이므로 따라서 span(v)의 원소 중에서 V에 속하지 않는 것은 없다. span(v) ⊆ V 차원의 개수보다 더 많은 벡터들이 선형독립일 수 없다. 따라서 마지막 span{v1, ..., vn}이 V가 아닌 경우는 없다.
-
45강: 기저(basis)와 차원(dimension)Linear Algebra 2022. 8. 14. 09:07
(0,4)_B : 기저 B를 기준으로 한 좌표입니다. - 항등원이 있어야 하므로 subspace는 0벡터를 포함하고 있어야 한다. - 평면인 부분공간을 다루기 위해선 굳이 축 3개를 가질 필요가 없다. - R^3은 자기 자신 R^3의 부분 공간 - 이때 dim(v)는 "함수로 바라볼 수 있는데" 항상 같은 값을 내는가? 즉, V의 기저 B의 원소의 갯수는 일정한가? (증명) W1, ..., Wn은 V에서 가져왔는데, span(B1) = V이므로 span(B1)에도 속한다. 따라서 Wn은 v1~vn의 선형결합이다. 동차선형방정식을 세울 경우, 식의 개수(k)보다 변수의 개수(m)가 더 많으므로 자명해 이외의 해가 존재한다. 자명해가 아닌 해가 존재하는 X벡터로 기저 B2의 원소 W를 선형결합해보자. 기저는..
-
-