Open, Closed and Compact Sets

1. a neighbourhood

 

2. Open set

 

3. Criterion of Closeness

 

4. Compact

 

https://slideplayer.com/slide/13773591

Introduction to Real Analysis - ppt download

 

 

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=6CUr7dS1KeE 

(1) Open cover

An open cover of a set Y is a family, (collection), of sets that are open, (a set of open sets), such that Y is a subset of the union of sets in that family.

 

EX1) E = R인 경우, U = {(M-1,M+1) | M ∈ Z} = {..., (-3,-1), (-2,0), (-1,1), (0,2), (1,3), ...,} 이면 U는 a open cover of a set E.

EX2)

 

(2) Subcover

V is a subcover of U if V is a subset of U that also covers E.

 

 

(3) Finite Subcover

V is a finite subcover if V has finitely many elements.

 

 

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non-EX1) E=R is not compact

 

U = {(-n,n) | n∈N}

Suppose V = {(-N1, N1), (-N2,N2), ..., (-NK, NK)} is a finite subcover of R.

Let NN = Max {N1,..., NK}. Then the union of V is (-NN, NN).

Since V is a cover of R, R ⊆ V. However, this makes no sense because NN+1 ∈ R, but not in (-NN, NN).

 

non-EX2) (0,1) is not compact

모순 발생

 

 

 

 

https://tendowork.tistory.com/37

 

 

"으잉? 주어진 집합의 임의의 열린 덮개를 유한 부분덮개로 바꾸어 줄 수 있다는 것이 무슨 뜻이지? 뭐 이런 괴랄한 정의가 있을까? 다른 분들은 어떻게 설명하실지 잘 모르겠지만, 난 이 정의에 담긴 핵심은 finiteness라고 생각한다. countable하기만 해도 빠짐없이 list up할 수 있어 충분히 고마운데(second countable space or Lindelof space), finiteness를 보장해준다면 이보다 더 좋을 수가 없다. finite set에서는 뻥 조금 보태서 모든 것을 할 수 있다. 최댓값과 최솟값이 반드시 존재하는 것이 대표적인 예. 쉽게 말해compact set은 유한집합처럼 행동하는 무한집합이다."

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