41강: 특성방정식 (1) (characteristic equation)

 

- 고유벡터가 서로 선형적으로 독립이 아니면 2차원 전체를 커버하는 축을 만들 수 없다.

 

 

(증명)

- 비가역이면 자명해 말고 다른 해를 가지고 있음

- 자명해가 아닌 x를 v1이라고 해보자.

 

 

 

 

V1 ~Vn 까지의 벡터들이 단 하나의 벡터는 아니라서 모순이 발생, 즉 vn은 어떤 고유값을 이용하여 특성방정식을 풀어서 뽑아낸 "임의의" 벡터로 v1이 다른 v의 선형결합이라는 식은 "모든" v에 대해 만족해야 한다.

 

 

- vn은 0벡터가 될 수 없다.

- 계수가 0이 되어야 한다. (항등식이 때문 <-- 예를 들어서 v2는 고정값이

아닌 오른 쪽의 집합을 만족하는 임의의, 즉 모든 v2를 의미한다.)

 

 

 

- a가 0이 아닌 경우는 하나 정도가 있다. 왜냐하면 v1은 다른 vn의 선형결합인데 a가 0인 경우 0벡터가 되어버린다 .따라서 a가 0이 아닌 경우 하나를 뽑아보자

 

 

- n개의 lamda 중 같은 값은 없으므로 모순 (n개의 고유값이라고 우리는 가정했다)

 

 

- 한편, v가 고정될 일은 없다. span(v)는 오른쪽 집합에 포함되며 무한하기 때문.