45강: 기저(basis)와 차원(dimension)

(0,4)_B : 기저 B를 기준으로 한 좌표입니다.

 

좌표축 간에 꼭 직교할 필요는 없다.

 

 

 

<기저(basis)의 정의: 기저이기 위한 조건>

 

 

- 항등원이 있어야 하므로 subspace는 0벡터를 포함하고 있어야 한다.

- 평면인  부분공간을 다루기 위해선 굳이 축 3개를 가질 필요가 없다.

- R^3은 자기 자신 R^3의 부분 공간

 

 

 

<차원(dimension)의 정의>

- 이때 dim(v)는 "함수로 바라볼 수 있는데" 항상 같은 값을 내는가? 즉, V의 기저 B의 원소의 갯수는 일정한가?

 

<기저는 언제나 일정한 갯수의 원소를 가진다>

 

(증명)

W1, ..., Wn은 V에서 가져왔는데, span(B1) = V이므로 span(B1)에도 속한다. 따라서 Wn은 v1~vn의 선형결합이다.

 

동차선형방정식을 세울 경우, 식의 개수(k)보다 변수의 개수(m)가 더 많으므로 자명해 이외의 해가 존재한다. 

 

 

 

 

자명해가 아닌 해가 존재하는 X벡터로 기저 B2의 원소 W를 선형결합해보자.  기저는 선형독립이므로 동 선형결합은 0이면 안 되지만, 0이 되어 모순이 발생한다.

 

k<m일 경우 모순이 발생하므로 결국 k=m일 수밖에 없다.

 

 

결과 : 차원을 Basis B의 원소의 갯수로 정의해도 무방하다.