선형대수학 49강: 대각화가능 행렬과 그 성질 [쑤튜브]

1. 행렬 A(nxn)가 대각화가능한지 안한지 어떻게 알 수 있을까? 서로 선형독립인 n개의 eigen vector가 존재하면 대각화 가능할까?

 

서로 선형독립인 n개의 eigenvector가 존재하면 그에 대응하는 eigenvalue가 n개 존재하여 대각행렬인 D를 만들 수 있다.

그럼 행렬 D는 basis를 변환시켜주는 행렬 B를 앞뒤로 곱할 때 A와 같아진다는 사실을 지난 시간에 배웠다. 이를 바꿔 쓰면, 행렬 A에 B 역행렬과 B를 좌우에 곱하면 행렬 D가 된다는 의미이다. 이때 행렬 B는 가역행렬인가?

 

고유벡터들을 나열한 행렬이 B인데, 이때 고유벡터들은 서로 선형적으로 독립이고, 모든 열벡터가 선형독립이면 가역행렬이므로 B는 가역행렬이다. 따라서 가역행렬 P(B)가 존재한다.

 

2. 과연 모든 대각화 가능한 행렬이 n개의 선형독립인 eigenvector를 가져야 하는가?