48강: 기저 변환과 대각화 [쑤튜브]

 

특수한 Basis인 Standard Unit Vector로 이루어진 Standard Basis가 아닌 일반적인 Basis에서 다른 Basis로 기저 변환은?

 

 

 

특정 Basis에서 다른 Basis로 기저변환 공식

 

 

 

 

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고유값과 고유벡터를 제대로 활용해보자

 

선형사상의 종류 : 회전변환, 대칭변환, 확대변환 

축을 기준으로 상수배하는 변환은 "대각행렬"일 수밖에 없다.

 

A의 경우, v1 축으로는 lamda1배하고 v2 축으로는 lamda2배하는 변환

따라서 새로운 basis B를 기준으로 보면 A는 대각행렬이 됨

이때 이 대각행렬을 사용하려면 basis B를 기준으로 한 정의역을 사용해야함

따라서 기존 R^2의 standard basis를 기준으로 한 정의역을 기저변환을 통해 basis B 축에서 표시해야 한다.

 

예를 들어서 (1,1)B가 있다고 가정해보자 

v1과 v2 이루어진 좌표이므로 (1,1)B는 1*v1+1*v2로 이루어진 벡터다

 

 

 

기저변환(축변환) E → B → E

 

 

A와 A'은 서로 기준으로 하는 축만 다를 뿐 똑같은 변환!

 

 

다루기 어려운 비대각행렬을 대각행렬로 만들어냄

 

고유값 : 축을 기준으로 어떤 상수배를 해주는 건지 찾는 것

이때 축에 대해 상수배를 하는 변환은? 대각행렬! 따라서 가운데 D는 항상 대각행렬

n차원에서 고유값을 n개 있으면 (서로 선형독립인 고유벡터가 n개가 있어서) 대각화가 가능